书接上回
(相关资料图)
常微分方程Chapter2——初等积分法（一）
常微分方程Chapter2——初等积分法（二）
本节介绍其他几种可以使用初等积分法求解的微分方程。
技巧1：方程中比表达式简单且含有分式形式时，可以考虑互换和，求解.
例2.5.1 求解方程.
和互换可得
这是关于的一阶线性ODE，利用2.3节中的结论可得通解
技巧2：对于方程，若可以解出，即可以写为
则令，得
原方程化为关于的方程。
例2.5.2(Clairaut方程) 求解方程，其中.
两侧对求导可得
若，则，方程解为
若，则，可得参数方程解
技巧3：对于不显含低阶导数的高阶方程
令，则原方程可降阶为阶方程
例2.3.2就是这种方法的一个例子。
技巧4：对于不显含自变量的自治方程
可以令，则
更高阶的导数也可用类似方式化简。这样，原方程化为关于的方程，且阶数比原先降低一阶。
这种技巧在物理问题中应用十分广泛。在求解力学问题时，经常需要解出某一力学系统中所有质点的运动状态，而这些质点受到的相互作用往往不与时间直接相关，这样列出的方程就属于自治方程。
例如，对于单摆这一力学系统，可以列出运动方程
利用上述方法，令，可得
进一步解得
.
本节将运用微分方程探究天体运动中非常重要的二体问题。
对于真空中两个相互作用的天体，由万有引力定律可列出运动方程
其中.
将直角坐标转化为极坐标，即，则有
分别， 得
将④式两端乘可得
令可得为常数，而此量的物理意义为角动量（除掉质量），因此这个式子揭示了二体问题中的角动量守恒（Kepler第二定律）。
将③式两端乘并代入可得
积分可得
此式左侧的物理意义为动能与引力势能之和的两倍（除掉质量），因此这个式子揭示了二体问题中的机械能守恒。
由上式可得
下面着重讨论时的情形。
此时有
对其进行积分（具体过程不会qaq）可得
其中，.
当时，上式为以为半长轴长，为离心率的椭圆极坐标方程。上述推导表明此时其中一个物体绕行另一物体的运动轨道为椭圆，此即Kepler第一定律。
记椭圆的半短轴长为，则绕行的运动周期
不难验证为常数，此即Kepler第三定律。